Warum gibt es kammartige Hügel in einem Periodogramm?

  • Ich spiele mit dem periodogram von MATLAB. Ich habe ein einfaches Skript erstellt, um zu beobachten, wie es sich verhält:

     rng(1);  %# initialize the random number generator
    
    Fs = 1000;  %# Sampling frequency
    duration = 0.1; %# seconds
    
    A = 1; %# Sinusoid amplitude
    f = 150; %# Sinusoid frequency
    eps = 0.01;
    
    t = 0:1/Fs:duration;
    x = A * sin(2*pi*f*t) + eps * randn(size(t));
    
    periodogram(x,[],1024,Fs);
     

    Warum gibt es kammartige Hügel in einem Periodogramm?

    Ich habe kein Problem mit dem Code und kann mit den in der Dokumentation angegebenen Algorithmen meine eigene periodogram - Funktion schreiben. Ich frage mich jedoch, welche theoretischen Gründe hinter den kammartigen Hügeln liegen, die nicht 150 Hz sind. Was bekomme ich, anstatt eine einzelne Spitze über 150 Hz zu bekommen? Gibt es etwas Besonderes in den Entfernungen der Gipfel dieser Hügel?

    25 November 2011
    Darren Kopp
2 answers
  • Eine einzelne Spitze (wie Sie sie nennen) erscheint theoretisch nur für eine Sinuskurve mit unendlich langer Länge. Da Ihr Signal eine Länge von 100 Samples hat, ist es nicht unendlich. Sie haben Ihr unendliches Signal tatsächlich mit einem Fenster multipliziert, das einen Wert von 1 über 100 Samples und 0 an anderer Stelle hat. Da die Multiplikation im Zeitbereich der Faltung im Frequenzbereich entspricht, ist Ihr Spektrum eine Faltung der einzelnen Spitze und der Frequenzantwort des Fensters (übrigens wird es rechteckiges Fenster genannt). Dies ist die Funktion, die Sie bekommen haben.

    Ich schlage vor, dass Sie über Windowing lesen: http://en.wikipedia.org/ wiki / Window_function

    24 November 2011
    winsql
  • Ich bin mit der Antwort von Itamar Katz nicht ganz zufrieden, also hier meine Erklärung.

    Die DFT eines $ N $ -Langensignals, $ x [n ] = e ^ {\ imath 2 \ pi fn / N} $ ist

    $$ X [k] = \ mathcal {F} \ {x [n] \} = \ frac {e ^ {\ imath 2 \ pi (fk)} - 1} {e ^ {\ imath 2 \ pi (fk) / N} -1} $$

    Die Antwort der Potenz oder des Betrags im Quadrat ist also gegeben durch

    $$ \ left \ vert X [k] \ right \ vert ^ 2 = \ left (\ frac {\ sin \ left (\ pi (fk) \ right)} {\ sin \ left (\ pi (fk) / N \ right)} \ right) ^ 2 $$

    Wie Sie sehen, ist der obige Ausdruck immer null, wenn $ fk $ eine ganze Zahl ist. Sie können sich selbst davon überzeugen, dass der Nenner nur an einem Punkt Null ist. Wenn Sie an diesem Punkt Grenzen setzen, erhalten Sie einen Wert von $ N ^ 2 $ für das Verhältnis. Daher gibt es keinen Punkt, an dem der Ausdruck explodiert.

    Wenn Sie nun das Protokoll des obigen Ausdrucks erstellen, ist $ log_ {10} (0) $ $ - \ infty $ (oder in irgendeiner Basis) und Daher erhalten Sie überall Nullen. Dies führt dazu, dass in Ihrem Plot "Kammartige Hügel" entstehen.

    Hier ist eine kurze Illustration in Mathematica:

     Clear@X
    X[f_, n_] := (Sin[π (f - #)]/Sin[π (f - #)/n])^2 &
    Plot[X[3, 10][k], {k, -5, 5}, PlotRange -> All]
     

    Warum gibt es kammartige Hügel in einem Periodogramm?

    Die Frequenz liegt auf der X-Achse und die Leistung (linear) auf der Y-Achse. Sie können sehen, dass die Nullen bei ganzzahligen Werten vorkommen und der Peak bei 3 liegt. Dies ist die Frequenz, die ich gewählt habe. Wenn Sie nun $ log_ {10} $ von den obigen Werten nehmen, erhalten Sie Nullen, die zur kammartigen Struktur führen

    Warum gibt es kammartige Hügel in einem Periodogramm?

    Hier ist ein weiteres Beispiel mit einem größeren $ N $, das mehr Nullen enthält.

    Warum gibt es kammartige Hügel in einem Periodogramm?

    27 November 2011
    Darren Kopp